Matematika Distrit - Proposisi

PROPOSISI


Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh

Pernyataan-pernyataan berikut ini, benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Kebenaran atau
  • 6 adalah bilangan genap.
  • Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertamaa
  • 2 + 2 = 4
  • Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
  • 12 ³ 19.
  • Kemarin hari hujan.
  • Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat Celcius.
  • Pemuda itu tinggi.
  • Kehidupan hanya ada di planet Bumi.
semuanya merupakan proposisi.

Proposisi a, b, dan c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya adalah Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 £ 19.
Proposisi f sampai i memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus.
Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bisa kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h.
Proposisi i bisa benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya. 

Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut:
 
Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p Ù q, adalah proposisi p dan q
Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p Ú q, adalah proposisi p atau q
Ingkaran atau (negation) dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, adalah proposisi tidak p

Catatan:
1. Beberapa literatur menggunakan notasi “Øp”, “ p ”, atau “not p” untuk menyatakan lingkaran.
2. Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung pada rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh

Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
maka
p Ù q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p Ú q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan) 

Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
(a) Konjungsi p Ù q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
(b) Disjungsi p Ú q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
(c) Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.

Contoh

Misalkan
p : 17 adalah bilangan prima
q : bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p Ù q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil
adalah salah.
Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T = True (benar), dan F = False (salah).

Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran
p   q   p Ù q          p   q   p Ú q           p ~q
T   T     T            T   T      T                 T     F
T   F     F             T   F      T                 F     T
F   T     F             F   T      T
F   F     F             F   F      F 

Hukum-hukum Logika Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + bc, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.

Hukum-hukum logika (atau hukum-hukum aljabar proposisi)
1. Hukum identitas:
(i) p Ú FÛ p
(ii) p Ù TÛ p
2. Hukum null/dominasi:
(i) p Ù FÛ F
(ii) p Ú TÛ T
3. Hukum negasi:
(i) p Ú ~p Û T
(ii) p Ù ~p Û F
4. Hukum idempoten:
(i) p Ú p Û p
(ii) p Ù p Û p
5. Hukum involusi (negasi ganda):
~(~p) Û p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
(i) p Ú (p Ù q) Û p
(ii) p Ù (p Ú q) Û p
7. Hukum komutatif:
(i) p Ú q Û q Ú p
(ii) p Ù q Û q Ù p
8. Hukum asosiatif:
(i) p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r
(ii) p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r
9. Hukum distributif:
(ii p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)
(ii) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)
10. Hukum De Morgan:
(i) ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q
(ii) ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q

Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah porposisi atomik, maka tabel kebenarannya terdiri dari 2n baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n = 10 terdapat 210 baris di dalam tabel kebenarannya.

Contoh

Tunjukkan bahwa p Ú ~(p Ú q) dan p Ú ~q keduanya ekivalen secara logika.
Penyelesaian:
p Ú ~(p Ú q ) Ûp Ú (~p Ù ~q) (Hukum De Mogran)
Û (p Ú ~p) Ù (p Ú ~q) (Hukum distributif)
Û T Ù (p Ú ~q) (Hukum negasi)
Ûp Ú ~q (Hukum identitas)

0 komentar :

Posting Komentar

Cancel Reply

Hubungi Saya